既有大小又有方向的量，稱(chēng)為向量，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，似乎感到困惑：向量到底有什么用？今天，小編就和大家來(lái)聊一聊向量.

1 力與向量

向量的英文是，中國(guó)的物理學(xué)家們?cè)谇迥┟癯鯐r(shí)期引進(jìn)西方科學(xué)概念時(shí)將“”稱(chēng)為“矢量”，至今向量與矢量?jī)煞N譯名共存，究其原因，早期的向量只是物理學(xué)專(zhuān)門(mén)用來(lái)表示力和速度等“既有大小又有方向”的物理量的工具，并不為數(shù)學(xué)家們所重視，因此“矢量”的譯名一度流行.

實(shí)際上，力作為向量最常見(jiàn)的實(shí)例有著十分古老的淵源.大約在公元前350年，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的合力可用平行四邊形法則得到，隨后古希臘數(shù)學(xué)家海倫則給出了該法則的幾何證明.

力的合成

在現(xiàn)實(shí)生活中，處處有“力的平行四邊形法則”，比如中國(guó)古代的“駟馬車(chē)”，可以直觀地依據(jù)平行四邊形法則觀察到這樣的合力.

古希臘之后的1500多年，經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)又黑暗的中世紀(jì)，向量的知識(shí)都沒(méi)有什么太大的變化.牛頓在其著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中總結(jié)了前人的智慧，論述了力、速度等物理量作為矢量如何進(jìn)行運(yùn)算，其本質(zhì)還是向量的平行四邊形法則.可見(jiàn)，這點(diǎn)向量知識(shí)，形不成多少有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能發(fā)展成一個(gè)獨(dú)立的學(xué)科，因此數(shù)學(xué)家們并沒(méi)有重點(diǎn)將向量作為對(duì)象進(jìn)行深入地研究.

2 復(fù)數(shù)與向量

直到19世紀(jì)，事情開(kāi)始發(fā)生變化，“復(fù)數(shù)”在向量的發(fā)展中充當(dāng)了催化劑.

數(shù)學(xué)家韋塞爾和阿爾岡發(fā)現(xiàn)了復(fù)數(shù)的幾何表示，這是一個(gè)具有劃時(shí)代意義的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，隨后德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯建立了復(fù)平面的概念，從而使得平面向量與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來(lái).向量可以表示為一組有序?qū)崝?shù)對(duì)，這與復(fù)平面中的復(fù)數(shù)是一致的.

復(fù)數(shù)——數(shù)的最后樂(lè)章

當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們想到，復(fù)數(shù)可以看作“二維向量”，那么單個(gè)實(shí)數(shù)就可以看作“一維向量”，同理，一定也還有“三維向量”、“四維向量”，乃至“維向量”.

于是，愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓首先研究了“四元數(shù)”：

這種具有4個(gè)分量的數(shù)具有諸多神奇的性質(zhì)，它構(gòu)成的數(shù)系能夠進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算，但是美中不足的是要放棄乘法交換律.

盡管如此，這一偉大的發(fā)現(xiàn)引起了又一位大牛的注意，代表著19世紀(jì)物理學(xué)重要發(fā)展方向的著名物理學(xué)家麥克斯韋對(duì)四元數(shù)情有獨(dú)鐘，他對(duì)于四元數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用使人們逐步認(rèn)識(shí)到用向量處理物理問(wèn)題的必要性.

麥克斯韋在其著作《電磁通論》的緒論中寫(xiě)道：

“

對(duì)于物理推理的許多目的來(lái)說(shuō)，不同于計(jì)算，有必要避免明確地引入笛卡爾坐標(biāo)，并把注意力固定在一個(gè)空間點(diǎn)上而不是在它的3個(gè)坐標(biāo)上，固定在一個(gè)力的大小和方向上而不是它的3個(gè)分量上.這種考慮幾何量和物理量的模式比另一種模式更原始、更自然，盡管與它相聯(lián)系的那些概念直到哈密頓通過(guò)發(fā)明他的四元數(shù)演算而在處理空間問(wèn)題上邁出一大步才得到充分的發(fā)展.……然而，我確信，四元數(shù)的概念而不是四元數(shù)的運(yùn)算和方法的引入，對(duì)我們的課題的所有部分的研究將是大有用處的；特別是在電動(dòng)力學(xué)中，在那里我們必須討論許多物理量，而他們彼此之間的關(guān)系可以用哈密頓的少數(shù)幾個(gè)表達(dá)式來(lái)表示，比用普通的方程要簡(jiǎn)單得多.

可見(jiàn)，隨著復(fù)數(shù)與向量理論的深入，物理學(xué)科的相關(guān)知識(shí)（尤其是電學(xué)）也得到了發(fā)展.

3 “四維向量”與中國(guó)古詩(shī)文化

提到四維向量，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)欣賞初唐詩(shī)人陳子昂的著名詩(shī)篇《登幽州臺(tái)歌》，體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化意境：

“

前不見(jiàn)古人，后不見(jiàn)來(lái)者.念天地之悠悠，獨(dú)愴然而涕下！

這便是古人對(duì)時(shí)間與空間看法的文學(xué)表述.陳子昂的時(shí)空觀，就是歐幾里得的時(shí)空觀，也是今天人們普遍持有的樸素時(shí)空觀.

從數(shù)學(xué)上看，這是一首闡發(fā)時(shí)間與空間感知的絕妙佳作.前兩句表示時(shí)間可以看成一條直線（一維），以詩(shī)人自己為原點(diǎn)，前不見(jiàn)古人指時(shí)間可以延申至負(fù)無(wú)窮大，后不見(jiàn)來(lái)者則意味著未來(lái)的時(shí)間是正無(wú)窮大，后兩句則指向了“天和地”構(gòu)成的三維現(xiàn)實(shí)空間.因此，如果此時(shí)此刻為，我們?cè)谌S空間中的位置為，那么每個(gè)人在“四維空間”中都對(duì)應(yīng)了一個(gè)獨(dú)特的向量：

陳子昂在詩(shī)中感嘆天地之宏大，時(shí)間之遙遠(yuǎn)，不禁覺(jué)人生之短暫，遂產(chǎn)生敬畏之心，這樣的意境，對(duì)于數(shù)學(xué)家和文學(xué)家來(lái)說(shuō)是可以相通的.

4 維向量

沿著四維向量往前走，維向量逐漸被撥開(kāi)迷霧展現(xiàn)在人們面前.

德國(guó)數(shù)學(xué)家格拉斯曼于1844年引入了維向量的概念.仿效平面向量的記法，我們將一個(gè)維向量定義為一個(gè)維的數(shù)組：

維向量可以定義加法和減法，也可以用單個(gè)實(shí)數(shù)與其相乘.向量的數(shù)量積也可以推廣到維情形.這就是向量空間（線性空間）要研究的問(wèn)題.

實(shí)際上，維向量看似很“高端”，但是它在生活中其實(shí)有著非常直觀的意義，比如說(shuō)我們?nèi)ド虉?chǎng)購(gòu)物，種商品的“單價(jià)向量”

以及種商品的“數(shù)量向量”

那么兩者的數(shù)量積，實(shí)際上就是你的總付款金額

因此，所謂的維向量的數(shù)量積，其實(shí)就在我們身邊.

時(shí)至今日，“個(gè)”成為當(dāng)今社會(huì)的流行語(yǔ)，用來(lái)表示“很多個(gè)”的意思，比如“我有個(gè)選擇”，“這件事有個(gè)因素”等等，究其根源，正是維向量等數(shù)學(xué)名詞廣泛普及的結(jié)果.

審核編輯：劉清